上图显示的动画为小球的真实振动情况，也可以说是在真实空间的振动。

为了定量描述真实空间的振动，需要引入空间域和时间域（相位空间）的概念：

下图中实心红色小球在真实空间中上下振动。

下图左边显示，在空间域上，空心红色小球随着角度的变化，绕着圆心做圆周运动。

将空间域运动在时间域(相位空间)上展开，可以看作做正弦或余弦运动。

如下图右边所示，空心红色小球随着时间的变化做正弦运动。

下面的动画和曲线显示了经典的无阻尼自由振动情况，

第一种情况，初始位移为零，有初始速度，按照正弦曲线振动。

左边是真实空间，右边是时间域（相位空间）

第二种情况，有初始位移，初始速度为零，按照余弦曲线振动。

下边是真实空间，上边是时间域（相位空间）

上面动画所显示的振动情况，用运动方程表示如下：

初始条件有两个：一个是速度，一个是位移

假设位移方程是由正弦曲线和余弦曲线复合而成，

上述方程的含义如下面动画所示，

蓝点为余弦曲线在X轴上的投影，红点为正弦曲线在Y轴上投影，它们的向量和形成了外面的圆周运动。

ωt为距离X轴正向的角度，其正弦值对应时间域正弦曲线的y坐标，如下图所示。

对上述方程进行求解，得到：

方程的最终解为：

ω称为圆频率，单位为弧度/秒

f称为频率，单位是赫兹(Hertz)，表示每秒物体能够振动多少次

T为频率f的倒数，也就是我们熟悉的周期，表示每次振动需要的时间

从上式可知，物体的质量与刚度的比值越大，振动周期越长。质量与刚度的比值约小，振动周期越短。

上述三个参数是结构的基本特性，只要结构体系的质量和刚度确定，那么这三个数值也就相应确定了，与外界的作用无关。所以也称作固有频率、固有周期。

对于一些常用结构的周期如下，：

20层抗弯框架       2.4秒

10层抗弯框架       1.3秒

1层抗弯框架         0.2秒

20层支撑钢框架    1.6秒

10层支撑钢框架    0.9秒

1层支撑钢框架     0.1秒

重力坝                 0.2秒

悬索桥                 20秒

对于框架结构，其周期可以按照0.1倍层数来进行初步估算，如果软件分析出来的数值过大或过小，就要引起注意，是否结构模型有问题。

下图所示为求解无阻尼自由振动方程，得到的位移—时间曲线。初始位移为u0，初始速度为位移的导数，周期为0.5秒。

在无阻尼的情况下，物体会一直振动下去，不会停止。

真实的结构物，由于阻尼的存在，会逐步减少结构的振动响应，直到位移为零，结构振动停止。

下图左侧黑色方块为无阻尼自由振动；蓝色方块为有阻尼自由振动。右侧为位移随时间的变化曲线，可以看到蓝色曲线位移逐步减小，最终为零。